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Schule/Mathe/Schuljahr 2/Ganzzahlige Potenzen/Sätze Mathe 10.md

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+4Die Potenzgesetze: Für alle a, b Elemente von Reelen Zahlen und n, m Element von Natürlichen zahlen gelten folgende Regeln:
+(P1) 
+$$
+a^n*a^m=a^{n+m}
+$$
+(P2)
+$$
+a^n*b^n=(a*b)^n
+$$
+(P3)
+$$
+(a^n)^m=a^{nm}
+$$
+(P4)
+$$
+\frac{a^n}{b^n}=\left( \frac{a}{b} \right)^n
+$$
+(P5)
+$$
+\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}
+$$
+**Beweis** Aufgaben vom ersten Blatt erste Aufgaben
+
+**Achtung**
+$$
+(a^n)^m 
+$$
+und
+$$
+a^{n^m}
+$$
+sind nicht das selbe
+1 und das 2 sind per Defenition
+$$
+(10^3)^3=1000^3=1'000'000'000
+$$
+$$
+10^{3^3} = 10
+$$
+
+
+**Definition**
+Für beliebige a>0 und n Element von Natürlichen zahlen ist 
+$$
+a^0=1
+$$
+$$
+a^{-n}=\frac{1}{a^n}
+$$
+Wenn nicht  a=0
+Bsp
+$$
+0^{-5} = \frac{1}{0^5}=\frac{1}{0}
+$$
+Gibt es nciht
+- Jede Zahl hoch 0 gibt 1
+- 0 hoch jede Zahl gibt 0
+
+**Def**
+Eine Zahl in wissenschaftlicher Notation hat die Form
+$$
+a,bcd*10^e
+$$
+Zahl zwischen 1 und 10
+
+Die Anzahl Ziffern nennt man *die Signifikaten Stellen*
+
+z.B. 
+$$
+1.23*10^5
+$$
+hat 3 signifikante Stellen
+
+**Wichtig**
+$$
+2*10^5 
+$$
+vs
+$$
+2.00*10^5
+$$
+ist nicht das Gleiche weil beim ersten gibt es nur 1 sig. und beim zweiten 3 sig..
+
+**Ab hier sind die Basen sofern nicht anders angegeben immer positiv. **
+
+**Def**
+Die n. Wurzel von a ist diejenige positive Zahl x, die 
+$$
+x^n=a
+$$
+erfüllt. 
+Als formel
+$$
+(^n\sqrt{a})^n=a
+$$
+**Def**
+Der Ausdruck a hoch 1/n ist eine andere Schreibweise für "muss philiip fragen was hiers stehet"
+
+**Satz**
+Die Potenzgesetze gelten auch für solche Exponente
+
+**Auswertung**
+$$
+a^{n/m}
+$$
+
+**Def**
+Eine *Exponentialgleichung* ist eine Gleichung in der die Variable in Exponenten eines oder mehrer Terme steht.
+
+**Bsp**
+$$
+3*2^x=5^{x-3}
+$$
+Ist einen
+$$
+x^3-2x=5
+$$
+Ist keine
+
+
+Eine Methode zum Lösen:
+1. Alle Basen gleichsetzen, so das die Gelichung die From $$a^T =a^S$$ erhält, wobei T und S beliebige Terme sind
+2. Exponente gleichsetzen und auflösen (dass heisst T=S lösen)
+
+**Bsp**
+$$
+9*3^x=27^{x+1}
+$$
+$$
+3^2*3^x=(3^3)^{x+1}
+$$
+$$
+3^{2+x}=3^{3x+3}
+$$
+2.
+$$
+2+x=3x+3
+$$
+$$
+-1=2x
+$$
+$$
+-\frac{1}{2}=x
+$$
+**Def**
+Sei $$a>0$$eine beliebige positive Zahl und $B>0$
+eine Basis $\pm1$
+Dergarithmus vona zur Basis, geschrieben $log_B(a)$
+ist die Zahl x, für die $a*B^x$ ist.
+Falls $B=10$ ist, lassen wir die Basis weg und schreiben $log(a)$
+
+**Bsp**
+$log_{10} (10000)=3$ weil $10^3=10000$
+$log_2(64)=6$, weil $2^6=64$
+$log_2(0.5)=-1$, weil $2^{-1}=0.5$
+$log_4(2)=\frac{1}{2}$, weil $4^{1/2}=\sqrt{4}=2$
+**Bsp**
+$log(1)=0$, weil $10^0=1$
+$log_B(1)=0$, weil $B^0=1$
+**Bsp** Wenn $a>0$
+$log_2 (-2)=x$ mit $2^x=-2$ was könnte x sein? Für x positiv ist $2^x$ auch positiv
+Für x negativ ist $2^x=\frac{1}{2^{-x}}$ auch positiv
+
+**Merke**
+- $log_B(B^2)=x$
+- $B^{log_B(x)}=x$
+**Satz**
+(1 Logarithmusgesetz) $log_B(a*b)=log_B(a)+log_B(b)$
+
+**Beweis** Sei $a = B^x$ und $b=B^y$ .
+$x=log_B(a)$ und $y= log_B(b)$
+Weil $a*b=B^x*B^y$ ist $log(a*b)=x+y$
+
+**Satz**
+(2. Log Gesetz) $Log_B(\frac{a}{b})=Log_B(a)- Log_B(b)$
+
+**Beweis**
+Wie 1.
+
+**Satz**
+(3. Log Gesetz) $Log_B(a^x)=x*Log_B(a)$
+
+**Begründung**
+Falls x eine natürliche Zahl ist, z.B. x=5
+$Log(a^5) = Log (a*a*a*a*a)=log(a)+log(a)+log(a)+log(a)+log(a)=5*log(a)$
+
+**Satzt** (4. lsg.-Gesetz, Basis wechsel)
+
+$$
+log_b(a)=\frac{log_B(a)}{log_B(b)}
+$$
+b: alte basis
+B: neue Basis frei wählbar
+
+**Exemplarischer Beweis**
+
+Betrachte $x=log_7(5)$. Möchte x als 2er - log schreiben.
+
+Äquivalente Gleichung: $7^x=5 | log_2$
+                =>$log_2(7^x)=log_2(5)$ | 3. log - gesetz
+                   $x*log_2(7)=log_2(5)$ | $:log_2(7)$
+                   $x= \frac{log_2(5)}{log_2(7)}$
+
+**Bsp** Vereinfache $\frac{log_3(16)}{log_3(4)}=log_4(16)$
+
+Also wir haben es einfach rückwärts Gemacht heir
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+