4Die Potenzgesetze: Für alle a, b Elemente von Reelen Zahlen und n, m Element von Natürlichen zahlen gelten folgende Regeln:
(P1) 
$$
a^n*a^m=a^{n+m}
$$
(P2)
$$
a^n*b^n=(a*b)^n
$$
(P3)
$$
(a^n)^m=a^{nm}
$$
(P4)
$$
\frac{a^n}{b^n}=\left( \frac{a}{b} \right)^n
$$
(P5)
$$
\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}
$$
**Beweis** Aufgaben vom ersten Blatt erste Aufgaben

**Achtung**
$$
(a^n)^m 
$$
und
$$
a^{n^m}
$$
sind nicht das selbe
1 und das 2 sind per Defenition
$$
(10^3)^3=1000^3=1'000'000'000
$$
$$
10^{3^3} = 10
$$


**Definition**
Für beliebige a>0 und n Element von Natürlichen zahlen ist 
$$
a^0=1
$$
$$
a^{-n}=\frac{1}{a^n}
$$
Wenn nicht  a=0
Bsp
$$
0^{-5} = \frac{1}{0^5}=\frac{1}{0}
$$
Gibt es nciht
- Jede Zahl hoch 0 gibt 1
- 0 hoch jede Zahl gibt 0

**Def**
Eine Zahl in wissenschaftlicher Notation hat die Form
$$
a,bcd*10^e
$$
Zahl zwischen 1 und 10

Die Anzahl Ziffern nennt man *die Signifikaten Stellen*

z.B. 
$$
1.23*10^5
$$
hat 3 signifikante Stellen

**Wichtig**
$$
2*10^5 
$$
vs
$$
2.00*10^5
$$
ist nicht das Gleiche weil beim ersten gibt es nur 1 sig. und beim zweiten 3 sig..

**Ab hier sind die Basen sofern nicht anders angegeben immer positiv. **

**Def**
Die n. Wurzel von a ist diejenige positive Zahl x, die 
$$
x^n=a
$$
erfüllt. 
Als formel
$$
(^n\sqrt{a})^n=a
$$
**Def**
Der Ausdruck a hoch 1/n ist eine andere Schreibweise für "muss philiip fragen was hiers stehet"

**Satz**
Die Potenzgesetze gelten auch für solche Exponente

**Auswertung**
$$
a^{n/m}
$$

**Def**
Eine *Exponentialgleichung* ist eine Gleichung in der die Variable in Exponenten eines oder mehrer Terme steht.

**Bsp**
$$
3*2^x=5^{x-3}
$$
Ist einen
$$
x^3-2x=5
$$
Ist keine


Eine Methode zum Lösen:
1. Alle Basen gleichsetzen, so das die Gelichung die From $$a^T =a^S$$ erhält, wobei T und S beliebige Terme sind
2. Exponente gleichsetzen und auflösen (dass heisst T=S lösen)

**Bsp**
$$
9*3^x=27^{x+1}
$$
$$
3^2*3^x=(3^3)^{x+1}
$$
$$
3^{2+x}=3^{3x+3}
$$
2.
$$
2+x=3x+3
$$
$$
-1=2x
$$
$$
-\frac{1}{2}=x
$$
**Def**
Sei $$a>0$$eine beliebige positive Zahl und $B>0$
eine Basis $\pm1$
Dergarithmus vona zur Basis, geschrieben $log_B(a)$
ist die Zahl x, für die $a*B^x$ ist.
Falls $B=10$ ist, lassen wir die Basis weg und schreiben $log(a)$

**Bsp**
$log_{10} (10000)=3$ weil $10^3=10000$
$log_2(64)=6$, weil $2^6=64$
$log_2(0.5)=-1$, weil $2^{-1}=0.5$
$log_4(2)=\frac{1}{2}$, weil $4^{1/2}=\sqrt{4}=2$
**Bsp**
$log(1)=0$, weil $10^0=1$
$log_B(1)=0$, weil $B^0=1$
**Bsp** Wenn $a>0$
$log_2 (-2)=x$ mit $2^x=-2$ was könnte x sein? Für x positiv ist $2^x$ auch positiv
Für x negativ ist $2^x=\frac{1}{2^{-x}}$ auch positiv

**Merke**
- $log_B(B^2)=x$
- $B^{log_B(x)}=x$
**Satz**
(1 Logarithmusgesetz) $log_B(a*b)=log_B(a)+log_B(b)$

**Beweis** Sei $a = B^x$ und $b=B^y$ .
$x=log_B(a)$ und $y= log_B(b)$
Weil $a*b=B^x*B^y$ ist $log(a*b)=x+y$

**Satz**
(2. Log Gesetz) $Log_B(\frac{a}{b})=Log_B(a)- Log_B(b)$

**Beweis**
Wie 1.

**Satz**
(3. Log Gesetz) $Log_B(a^x)=x*Log_B(a)$

**Begründung**
Falls x eine natürliche Zahl ist, z.B. x=5
$Log(a^5) = Log (a*a*a*a*a)=log(a)+log(a)+log(a)+log(a)+log(a)=5*log(a)$

**Satzt** (4. lsg.-Gesetz, Basis wechsel)

$$
log_b(a)=\frac{log_B(a)}{log_B(b)}
$$
b: alte basis
B: neue Basis frei wählbar

**Exemplarischer Beweis**

Betrachte $x=log_7(5)$. Möchte x als 2er - log schreiben.

Äquivalente Gleichung: $7^x=5 | log_2$
                =>$log_2(7^x)=log_2(5)$ | 3. log - gesetz
                   $x*log_2(7)=log_2(5)$ | $:log_2(7)$
                   $x= \frac{log_2(5)}{log_2(7)}$

**Bsp** Vereinfache $\frac{log_3(16)}{log_3(4)}=log_4(16)$

Also wir haben es einfach rückwärts Gemacht heir