obsidian/Schule/Mathe/Schuljahr 2/Ganzzahlige Potenzen/Sätze Mathe 10.md

4Die Potenzgesetze: Für alle a, b Elemente von Reelen Zahlen und n, m Element von Natürlichen zahlen gelten folgende Regeln: (P1)

a^n*a^m=a^{n+m}

(P2)

a^n*b^n=(a*b)^n

(P3)

(a^n)^m=a^{nm}

(P4)

\frac{a^n}{b^n}=\left( \frac{a}{b} \right)^n

(P5)

\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}

Beweis Aufgaben vom ersten Blatt erste Aufgaben

Achtung

(a^n)^m 

und

a^{n^m}

sind nicht das selbe 1 und das 2 sind per Defenition

(10^3)^3=1000^3=1'000'000'000

10^{3^3} = 10

Definition Für beliebige a>0 und n Element von Natürlichen zahlen ist

a^0=1

a^{-n}=\frac{1}{a^n}

Wenn nicht a=0 Bsp

0^{-5} = \frac{1}{0^5}=\frac{1}{0}

Gibt es nciht

• Jede Zahl hoch 0 gibt 1
• 0 hoch jede Zahl gibt 0

Def Eine Zahl in wissenschaftlicher Notation hat die Form

a,bcd*10^e

Zahl zwischen 1 und 10

Die Anzahl Ziffern nennt man die Signifikaten Stellen

z.B.

1.23*10^5

hat 3 signifikante Stellen

Wichtig

2*10^5 

vs

2.00*10^5

ist nicht das Gleiche weil beim ersten gibt es nur 1 sig. und beim zweiten 3 sig..

**Ab hier sind die Basen sofern nicht anders angegeben immer positiv. **

Def Die n. Wurzel von a ist diejenige positive Zahl x, die

x^n=a

erfüllt. Als formel

(^n\sqrt{a})^n=a

Def Der Ausdruck a hoch 1/n ist eine andere Schreibweise für "muss philiip fragen was hiers stehet"

Satz Die Potenzgesetze gelten auch für solche Exponente

Auswertung

a^{n/m}

Def Eine Exponentialgleichung ist eine Gleichung in der die Variable in Exponenten eines oder mehrer Terme steht.

Bsp

3*2^x=5^{x-3}

Ist einen

x^3-2x=5

Ist keine

Eine Methode zum Lösen:

1. Alle Basen gleichsetzen, so das die Gelichung die From a^T =a^S erhält, wobei T und S beliebige Terme sind
2. Exponente gleichsetzen und auflösen (dass heisst T=S lösen)

Bsp

9*3^x=27^{x+1}

3^2*3^x=(3^3)^{x+1}

3^{2+x}=3^{3x+3}

2+x=3x+3

-1=2x

-\frac{1}{2}=x

Def Sei $a>0$eine beliebige positive Zahl und B>0 eine Basis \pm1 Dergarithmus vona zur Basis, geschrieben log_B(a) ist die Zahl x, für die a*B^x ist. Falls B=10 ist, lassen wir die Basis weg und schreiben log(a)

Bsp log_{10} (10000)=3 weil 10^3=10000 log_2(64)=6, weil 2^6=64 log_2(0.5)=-1, weil 2^{-1}=0.5 log_4(2)=\frac{1}{2}, weil 4^{1/2}=\sqrt{4}=2 Bsp log(1)=0, weil 10^0=1 log_B(1)=0, weil B^0=1 Bsp Wenn a>0 log_2 (-2)=x mit 2^x=-2 was könnte x sein? Für x positiv ist 2^x auch positiv Für x negativ ist 2^x=\frac{1}{2^{-x}} auch positiv

Merke

• log_B(B^2)=x
• B^{log_B(x)}=x Satz (1 Logarithmusgesetz) log_B(a*b)=log_B(a)+log_B(b)

Beweis Sei a = B^x und b=B^y . x=log_B(a) und y= log_B(b) Weil a*b=B^x*B^y ist log(a*b)=x+y

Satz (2. Log Gesetz) Log_B(\frac{a}{b})=Log_B(a)- Log_B(b)

Beweis Wie 1.

Satz (3. Log Gesetz) Log_B(a^x)=x*Log_B(a)

Begründung Falls x eine natürliche Zahl ist, z.B. x=5 Log(a^5) = Log (a*a*a*a*a)=log(a)+log(a)+log(a)+log(a)+log(a)=5*log(a)

Satzt (4. lsg.-Gesetz, Basis wechsel)

log_b(a)=\frac{log_B(a)}{log_B(b)}

b: alte basis B: neue Basis frei wählbar

Exemplarischer Beweis

Betrachte x=log_7(5). Möchte x als 2er - log schreiben.

Äquivalente Gleichung: 7^x=5 | log_2 =>log_2(7^x)=log_2(5) | 3. log - gesetz x*log_2(7)=log_2(5) | :log_2(7) x= \frac{log_2(5)}{log_2(7)}

Bsp Vereinfache \frac{log_3(16)}{log_3(4)}=log_4(16)

Also wir haben es einfach rückwärts Gemacht heir