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Schule/Mathe/Schuljahr 2/Ganzzahlige Potenzen/Mathe 10 Vorbereitung Ganzzahlige Potenzen.md

@@ -0,0 +1,21 @@
+$![[Pasted image 20260210110137.png]]
+# Definition negative & rationale Potenzen
+# Potenzgesetze
+[[Sätze Mathe 10]]
+
+# Einfache Exponentialgleichungen (mit Basis gleichsetzen, ohne logarithmieren)
+# Definition Logarithmus, Werte berechnen
+# Logarithmengesetze
+[[Sätze Mathe 10]]
+
+# Ommp Module Links
+
+- [Potenzen 1](https://ommp.info/o_pruefungen_session/main.php?bgcolor=color1&templatefile=potenzen_1&anker=1.9)
+- [Pot_Wurz](https://ommp.info/o_pruefungen_session/main.php?bgcolor=color1&templatefile=pot_wurz&anker=1.9.6)
+- [Potenzen Q-](https://ommp.info/o_pruefungen_session/main.php?bgcolor=color1&templatefile=potenzen_Q-&anker=1.9.5)
+Zu Logarithmen:
+
+- [Log Def](https://ommp.info/o_pruefungen_session/main.php?bgcolor=color2b&templatefile=log_Def&anker=3.1)
+- [Log Gesetze](https://ommp.info/o_pruefungen_session/main.php?bgcolor=color2b&templatefile=log_gesetze&anker=3.2)
+- [Log 1](https://ommp.info/o_pruefungen_session/main.php?bgcolor=color2b&templatefile=log_1&anker=3.3)
+- [Log 2](https://ommp.info/o_pruefungen_session/main.php?bgcolor=color2b&templatefile=log_2&anker=3.4)

Schule/Mathe/Schuljahr 2/Ganzzahlige Potenzen/Potenzen Aufgaben.md

@@ -0,0 +1,191 @@
+[[Sätze Mathe 10]]
+# 10.1
+
+![[Pasted image 20260127133214.png]]
+j)
+$$
+(a^2+a^3)*(a^3-a^2)=a^6-a^4
+$$
+Wegen der 3. [[Binomische Formel]]
+
+![[Pasted image 20260127134730.png]]
+a)
+$$
+432.5
+$$
+b)
+$$
+7.568*10^{13}
+$$
+c)
+$$
+1.000*10^4
+$$
+![[Pasted image 20260127135229.png]]
+$$
+a^{-999},a^{-99}
+$$
+kein bock digga
+
+
+# 10.2
+![[Pasted image 20260127140100.png]]
+Wenn man 
+$$
+9^{4*0.5}
+$$
+macht ist das gleiche wenn man die Wurzel von 
+$$
+9^4
+$$
+macht.
+![[Pasted image 20260127140600.png]]
+a)
+Die Wurzel von 7
+b)
+$$
+7^{3/2}=7^{1+0.5}=7*7^{0.5}=7*\sqrt7
+$$
+![[Pasted image 20260127142553.png]]
+![[Pasted image 20260129080400.png]]
+$$
+^3\sqrt{a}*^5\sqrt{a}
+$$
+![[Pasted image 20260129081132.png]]
+
+| $$\frac{1}{81}$$ | $$\frac{1}{27}$$ | $$\frac{1}{9}$$ | $$\frac{1}{3}$$ | 1       | 3       | 9       | 27      | 81      |
+| ---------------- | ---------------- | --------------- | --------------- | ------- | ------- | ------- | ------- | ------- |
+| $$3^{-4}$$       | $$3^{-3}$$       | $$3^{-2}$$      | $$3^{-1}$$      | $$3^0$$ | $$3^1$$ | $$3^2$$ | $$3^3$$ | $$3^4$$ |
+
+![[Pasted image 20260129080823.png]]
+a)
+$$
+(10^{-10})^{\frac{1}{10}}=10^{-1}=\frac{1}{10}
+$$
+c)
+$$
+64=8^2=2^{3^2}=2^6
+$$
+
+$$
+^3\sqrt{\frac{1}{2^6}}=\frac{1}{2^2}=\frac{1}{4}
+$$
+![[Pasted image 20260129083005.png]]
+a)
+$$
+\frac{a^{-6}}{a^{-2}}=a^{-4}
+$$
+b)
+$$
+\frac{a^{\frac{1}{4}}}{a^{\frac{1}{5}}} =\frac{a^{\frac{5}{20}}}{a^{\frac{4}{20}}}=1^{\frac{1}{20}}
+$$
+$$
+
+$$
+c)
+$$
+(8^2)^{0.2}=8^{0.4}
+$$
+$$
+\frac{8^{0.4}}{8^{0.2}}=8^{0.2}
+$$
+d)...
+![[Pasted image 20260129085721.png]]
+![[Pasted image 20260129092423.png]]
+a)
+$$
+x=-120
+$$
+b)
+$$
+3^{2^{50}}=3^{3^{x}}
+$$
+$$
+3^{100}=3^{3x}
+$$
+$$
+33.33=x
+$$
+c)
+$$
+-2.5=x
+$$
+Gleiches Prinzip wie bei b)
+d)
+$$
+
+$$
+e)
+$$
+
+$$
+f)
+$$
+
+$$
+![[Pasted image 20260203110722.png]]
+a)
+$$
+
+$$
+b)
+$$
+
+$$
+c)
+$$
+
+$$
+
+# 10.3
+![[Pasted image 20260203112024.png]]
+![[Pasted image 20260203113338.png]]
+![[Pasted image 20260205081418.png]]
+![[Pasted image 20260205081618.png]]
+Man muss bei dieser Aufgabe die Summe der oberen Zahlen herausfinden und dann die Summe suchen wieder oben und dann die Untenstehende Zahl ist die Lösung eine Multiplikation.
+Für die Division muss man den $Dividend - Divisor$ rechnen und somit bekommt auch eine Lösung also muss man so weiter gehen wie bei der Multiplikation.
+![[Pasted image 20260205082329.png]]
+a) $3$
+b) $0$
+c) $2$
+d) $4$
+e) $5$
+f) $-5$
+g) $-4$
+h) $10$
+i) $-1$
+j) $2.5$
+![[Pasted image 20260205084244.png]]
+a) $4$
+b) $125$
+c) $-1$
+d) GEHT GAR NICHT
+e) $3$ Ist eine Kak aufgabe
+f) Muss ist noch anschauen
+# 10.5
+![[Pasted image 20260205090235.png]]
+- Stimmt nicht
+- Stimmt
+![[Pasted image 20260205091105.png]]
+$log(x)*log(y)$
+$log(x)-log(y)$
+$log(x)+log(y)=log(z)$
+$y*log_b(x)$
+![[Pasted image 20260205091205.png]]
+a) -log(q)
+b) log(p)+... log(r)
+c) -log(r)
+d) p^3
+e) \frac{1}{5}*p
+f) -log(r+s)
+h) \frach{p}{\sqrt{4}}
+
+# Ommp Aufgaben
+Vereinfache
+$$
+log_4(7)*log_7(16)*log_4(4)
+$$
+=$log_4(7)*log_7(16)*1$ 
+=$log_4(7)*\frac{log_4(16)}{log_4(7)}$
+=$log_4(16)$
+=$2$

Schule/Mathe/Schuljahr 2/Ganzzahlige Potenzen/Sätze Mathe 10.md

@@ -0,0 +1,208 @@
+4Die Potenzgesetze: Für alle a, b Elemente von Reelen Zahlen und n, m Element von Natürlichen zahlen gelten folgende Regeln:
+(P1) 
+$$
+a^n*a^m=a^{n+m}
+$$
+(P2)
+$$
+a^n*b^n=(a*b)^n
+$$
+(P3)
+$$
+(a^n)^m=a^{nm}
+$$
+(P4)
+$$
+\frac{a^n}{b^n}=\left( \frac{a}{b} \right)^n
+$$
+(P5)
+$$
+\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}
+$$
+**Beweis** Aufgaben vom ersten Blatt erste Aufgaben
+
+**Achtung**
+$$
+(a^n)^m 
+$$
+und
+$$
+a^{n^m}
+$$
+sind nicht das selbe
+1 und das 2 sind per Defenition
+$$
+(10^3)^3=1000^3=1'000'000'000
+$$
+$$
+10^{3^3} = 10
+$$
+
+
+**Definition**
+Für beliebige a>0 und n Element von Natürlichen zahlen ist 
+$$
+a^0=1
+$$
+$$
+a^{-n}=\frac{1}{a^n}
+$$
+Wenn nicht  a=0
+Bsp
+$$
+0^{-5} = \frac{1}{0^5}=\frac{1}{0}
+$$
+Gibt es nciht
+- Jede Zahl hoch 0 gibt 1
+- 0 hoch jede Zahl gibt 0
+
+**Def**
+Eine Zahl in wissenschaftlicher Notation hat die Form
+$$
+a,bcd*10^e
+$$
+Zahl zwischen 1 und 10
+
+Die Anzahl Ziffern nennt man *die Signifikaten Stellen*
+
+z.B. 
+$$
+1.23*10^5
+$$
+hat 3 signifikante Stellen
+
+**Wichtig**
+$$
+2*10^5 
+$$
+vs
+$$
+2.00*10^5
+$$
+ist nicht das Gleiche weil beim ersten gibt es nur 1 sig. und beim zweiten 3 sig..
+
+**Ab hier sind die Basen sofern nicht anders angegeben immer positiv. **
+
+**Def**
+Die n. Wurzel von a ist diejenige positive Zahl x, die 
+$$
+x^n=a
+$$
+erfüllt. 
+Als formel
+$$
+(^n\sqrt{a})^n=a
+$$
+**Def**
+Der Ausdruck a hoch 1/n ist eine andere Schreibweise für "muss philiip fragen was hiers stehet"
+
+**Satz**
+Die Potenzgesetze gelten auch für solche Exponente
+
+**Auswertung**
+$$
+a^{n/m}
+$$
+
+**Def**
+Eine *Exponentialgleichung* ist eine Gleichung in der die Variable in Exponenten eines oder mehrer Terme steht.
+
+**Bsp**
+$$
+3*2^x=5^{x-3}
+$$
+Ist einen
+$$
+x^3-2x=5
+$$
+Ist keine
+
+
+Eine Methode zum Lösen:
+1. Alle Basen gleichsetzen, so das die Gelichung die From $$a^T =a^S$$ erhält, wobei T und S beliebige Terme sind
+2. Exponente gleichsetzen und auflösen (dass heisst T=S lösen)
+
+**Bsp**
+$$
+9*3^x=27^{x+1}
+$$
+$$
+3^2*3^x=(3^3)^{x+1}
+$$
+$$
+3^{2+x}=3^{3x+3}
+$$
+2.
+$$
+2+x=3x+3
+$$
+$$
+-1=2x
+$$
+$$
+-\frac{1}{2}=x
+$$
+**Def**
+Sei $$a>0$$eine beliebige positive Zahl und $B>0$
+eine Basis $\pm1$
+Dergarithmus vona zur Basis, geschrieben $log_B(a)$
+ist die Zahl x, für die $a*B^x$ ist.
+Falls $B=10$ ist, lassen wir die Basis weg und schreiben $log(a)$
+
+**Bsp**
+$log_{10} (10000)=3$ weil $10^3=10000$
+$log_2(64)=6$, weil $2^6=64$
+$log_2(0.5)=-1$, weil $2^{-1}=0.5$
+$log_4(2)=\frac{1}{2}$, weil $4^{1/2}=\sqrt{4}=2$
+**Bsp**
+$log(1)=0$, weil $10^0=1$
+$log_B(1)=0$, weil $B^0=1$
+**Bsp** Wenn $a>0$
+$log_2 (-2)=x$ mit $2^x=-2$ was könnte x sein? Für x positiv ist $2^x$ auch positiv
+Für x negativ ist $2^x=\frac{1}{2^{-x}}$ auch positiv
+
+**Merke**
+- $log_B(B^2)=x$
+- $B^{log_B(x)}=x$
+**Satz**
+(1 Logarithmusgesetz) $log_B(a*b)=log_B(a)+log_B(b)$
+
+**Beweis** Sei $a = B^x$ und $b=B^y$ .
+$x=log_B(a)$ und $y= log_B(b)$
+Weil $a*b=B^x*B^y$ ist $log(a*b)=x+y$
+
+**Satz**
+(2. Log Gesetz) $Log_B(\frac{a}{b})=Log_B(a)- Log_B(b)$
+
+**Beweis**
+Wie 1.
+
+**Satz**
+(3. Log Gesetz) $Log_B(a^x)=x*Log_B(a)$
+
+**Begründung**
+Falls x eine natürliche Zahl ist, z.B. x=5
+$Log(a^5) = Log (a*a*a*a*a)=log(a)+log(a)+log(a)+log(a)+log(a)=5*log(a)$
+
+**Satzt** (4. lsg.-Gesetz, Basis wechsel)
+
+$$
+log_b(a)=\frac{log_B(a)}{log_B(b)}
+$$
+b: alte basis
+B: neue Basis frei wählbar
+
+**Exemplarischer Beweis**
+
+Betrachte $x=log_7(5)$. Möchte x als 2er - log schreiben.
+
+Äquivalente Gleichung: $7^x=5 | log_2$
+                =>$log_2(7^x)=log_2(5)$ | 3. log - gesetz
+                   $x*log_2(7)=log_2(5)$ | $:log_2(7)$
+                   $x= \frac{log_2(5)}{log_2(7)}$
+
+**Bsp** Vereinfache $\frac{log_3(16)}{log_3(4)}=log_4(16)$
+
+Also wir haben es einfach rückwärts Gemacht heir
+
+