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4Die Potenzgesetze: Für alle a, b Elemente von Reelen Zahlen und n, m Element von Natürlichen zahlen gelten folgende Regeln:
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(P1)
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$$
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a^n*a^m=a^{n+m}
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$$
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(P2)
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$$
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a^n*b^n=(a*b)^n
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$$
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(P3)
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$$
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(a^n)^m=a^{nm}
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$$
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(P4)
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$$
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\frac{a^n}{b^n}=\left( \frac{a}{b} \right)^n
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$$
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(P5)
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$$
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\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}
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$$
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**Beweis** Aufgaben vom ersten Blatt erste Aufgaben
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**Achtung**
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$$
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(a^n)^m
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$$
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und
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$$
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a^{n^m}
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$$
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sind nicht das selbe
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1 und das 2 sind per Defenition
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$$
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(10^3)^3=1000^3=1'000'000'000
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$$
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$$
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10^{3^3} = 10
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$$
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**Definition**
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Für beliebige a>0 und n Element von Natürlichen zahlen ist
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$$
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a^0=1
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$$
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$$
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a^{-n}=\frac{1}{a^n}
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$$
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Wenn nicht a=0
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Bsp
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$$
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0^{-5} = \frac{1}{0^5}=\frac{1}{0}
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$$
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Gibt es nciht
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- Jede Zahl hoch 0 gibt 1
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- 0 hoch jede Zahl gibt 0
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**Def**
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Eine Zahl in wissenschaftlicher Notation hat die Form
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$$
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a,bcd*10^e
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$$
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Zahl zwischen 1 und 10
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Die Anzahl Ziffern nennt man *die Signifikaten Stellen*
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z.B.
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$$
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1.23*10^5
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$$
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hat 3 signifikante Stellen
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**Wichtig**
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$$
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2*10^5
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$$
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vs
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$$
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2.00*10^5
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$$
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ist nicht das Gleiche weil beim ersten gibt es nur 1 sig. und beim zweiten 3 sig..
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**Ab hier sind die Basen sofern nicht anders angegeben immer positiv. **
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**Def**
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Die n. Wurzel von a ist diejenige positive Zahl x, die
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$$
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x^n=a
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$$
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erfüllt.
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Als formel
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$$
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(^n\sqrt{a})^n=a
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$$
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**Def**
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Der Ausdruck a hoch 1/n ist eine andere Schreibweise für "muss philiip fragen was hiers stehet"
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**Satz**
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Die Potenzgesetze gelten auch für solche Exponente
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**Auswertung**
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$$
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a^{n/m}
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$$
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**Def**
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Eine *Exponentialgleichung* ist eine Gleichung in der die Variable in Exponenten eines oder mehrer Terme steht.
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**Bsp**
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$$
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3*2^x=5^{x-3}
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$$
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Ist einen
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$$
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x^3-2x=5
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$$
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Ist keine
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Eine Methode zum Lösen:
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1. Alle Basen gleichsetzen, so das die Gelichung die From $$a^T =a^S$$ erhält, wobei T und S beliebige Terme sind
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2. Exponente gleichsetzen und auflösen (dass heisst T=S lösen)
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**Bsp**
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$$
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9*3^x=27^{x+1}
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$$
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$$
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3^2*3^x=(3^3)^{x+1}
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$$
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$$
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3^{2+x}=3^{3x+3}
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$$
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2.
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$$
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2+x=3x+3
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$$
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$$
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-1=2x
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$$
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$$
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-\frac{1}{2}=x
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$$
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**Def**
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Sei $$a>0$$eine beliebige positive Zahl und $B>0$
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eine Basis $\pm1$
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Dergarithmus vona zur Basis, geschrieben $log_B(a)$
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ist die Zahl x, für die $a*B^x$ ist.
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Falls $B=10$ ist, lassen wir die Basis weg und schreiben $log(a)$
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**Bsp**
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$log_{10} (10000)=3$ weil $10^3=10000$
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$log_2(64)=6$, weil $2^6=64$
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$log_2(0.5)=-1$, weil $2^{-1}=0.5$
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$log_4(2)=\frac{1}{2}$, weil $4^{1/2}=\sqrt{4}=2$
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**Bsp**
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$log(1)=0$, weil $10^0=1$
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$log_B(1)=0$, weil $B^0=1$
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**Bsp** Wenn $a>0$
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$log_2 (-2)=x$ mit $2^x=-2$ was könnte x sein? Für x positiv ist $2^x$ auch positiv
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Für x negativ ist $2^x=\frac{1}{2^{-x}}$ auch positiv
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**Merke**
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- $log_B(B^2)=x$
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- $B^{log_B(x)}=x$
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**Satz**
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(1 Logarithmusgesetz) $log_B(a*b)=log_B(a)+log_B(b)$
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**Beweis** Sei $a = B^x$ und $b=B^y$ .
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$x=log_B(a)$ und $y= log_B(b)$
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Weil $a*b=B^x*B^y$ ist $log(a*b)=x+y$
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**Satz**
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(2. Log Gesetz) $Log_B(\frac{a}{b})=Log_B(a)- Log_B(b)$
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**Beweis**
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Wie 1.
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**Satz**
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(3. Log Gesetz) $Log_B(a^x)=x*Log_B(a)$
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**Begründung**
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Falls x eine natürliche Zahl ist, z.B. x=5
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$Log(a^5) = Log (a*a*a*a*a)=log(a)+log(a)+log(a)+log(a)+log(a)=5*log(a)$
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**Satzt** (4. lsg.-Gesetz, Basis wechsel)
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$$
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log_b(a)=\frac{log_B(a)}{log_B(b)}
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$$
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b: alte basis
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B: neue Basis frei wählbar
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**Exemplarischer Beweis**
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Betrachte $x=log_7(5)$. Möchte x als 2er - log schreiben.
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Äquivalente Gleichung: $7^x=5 | log_2$
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=>$log_2(7^x)=log_2(5)$ | 3. log - gesetz
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$x*log_2(7)=log_2(5)$ | $:log_2(7)$
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$x= \frac{log_2(5)}{log_2(7)}$
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**Bsp** Vereinfache $\frac{log_3(16)}{log_3(4)}=log_4(16)$
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Also wir haben es einfach rückwärts Gemacht heir
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